Sprawna organizacja przetargów, zwiększenie bezpieczeństwa transmisji danych, analiza zachowań w grach politycznych czy eliminowanie paradoksów w dylematach filozoficznych to tylko niektóre obszary, w których można wykorzystać teorię gier kwantowych. Naukowcy z czterech polskich ośrodków badawczych, w tym Uniwersytetu Śląskiego, przez najbliższe dwa lata będą zajmować się praktyczną i teoretyczną stroną zagadnienia. Kierownikiem całego projektu jest prof. dr hab. Jan Sładkowski.

Prof. dr hab. Jan Sładkowski, kierownik Zakładu Astrofizyki i Kosmologii, od wielu lat zajmuje się teoretycznym i praktycznym zastosowaniem zjawisk mechaniki kwantowej

Teoria gier

„Najlepszy w całym chrześcijaństwie szachista nie może być niczym innym, jak tylko najlepszym szachistą, gdy tymczasem pomysłowość w wiście zawiera zapowiedź powodzenia w tych wszystkich nierównie ważniejszych przedsięwzięciach, gdzie umysł pasuje się z umysłem” – pisał Edgar Allan Poe w opowiadaniu Zabójstwo przy Rue Morgue.

– Z punktu widzenia teorii gier, szachy rzeczywiście okazują się grą trywialną – przyznaje prof. Sładkowski. Dwóch graczy, ściśle określony sposób wykonywania ruchów przez poszczególne figury na planszy, i to już wystarczy, by wskazać jeden z trzech możliwych wyników rozgrywki. Pozostaje tylko pytanie, który – na to pytanie, niestety, nie znamy odpowiedzi (ze względu na złożoność obliczeniową problemu). Takimi grami w klasycznym sensie są również gry kwantowe: występuje w nich minimum dwóch agentów (graczy), każdy z nich ma przypisany pewien sposób postępowania w danej sytuacji, i, w zależności od wykonanego ruchu, otrzymuje odpowiednią wypłatę, uzależnioną od wybranej strategii. Same założenia mają ogólny charakter: agentami mogą być przedsiębiorstwa, państwa, Natura, poszczególne osoby itd.; wypłaty mogą mieć różną postać, zarówno pieniężną, jak i niepieniężną, natomiast strategie oznaczają opis postępowania gracza w każdej sytuacji. Cel zawsze jest taki sam: maksymalizacja zysków lub minimalizacja strat.

Tak szeroki sposób rozumienia gry pozwala stosować tę teorię w wielu różnych dziedzinach. Prof. Sładkowski wymienia między innymi informatykę, psychologię, socjologię, filozofię, biologię, ekonomię czy medycynę. Aby przybliżyć omawiane zagadnienie, przywołuje problem teorii gier zwany dylematem więźnia. Wyobraźmy sobie dwóch mężczyzn, którzy popełnili przestępstwo. Przesłuchiwani są jednak oddzielnie. Mogą wykonać więc tylko dwa ruchy: przyznać się do popełnionej zbrodni (obciążając tym samym wspólnika) albo nie przyznać się do winy. Rozkład wypłat może przedstawiać się następująco: jeśli obaj zaczną współpracować z policją, wówczas zostaną skazani na 5 miesięcy pozbawienia wolności. Jeśli żaden z nich nie przyzna się do winy, wtedy sąd skaże ich na dwa miesiące więzienia. Jeśli jednak przyzna się tylko jeden – ten zostanie skazany na jeden miesiąc pozbawienia wolności, drugi z kolei na 12 miesięcy. Decyzja jednego gracza wpływa więc na sytuację drugiego. Dzięki teorii gier można wskazać najbardziej opłacalną strategię, którą w tym przypadku jest przyznanie się do winy, bez względu na postępowanie drugiego podejrzanego. W tym miejscu pojawia się problem: gracze uzyskają lepszy wynik, jeśli obydwaj nie przyznają się do winy, co wymaga współpracy (zaufania), a z tym różnie bywa. Oznacza to, że racjonalne zachowanie graczy niekoniecznie prowadzi do optymalnych wypłat. Sytuacja taka pojawia się stosunkowo często. Pomimo kryminalistycznego kontekstu, problem ten doskonale sprawdza się w naukach społecznych i politycznych, w ochronie środowiska czy… w sporcie.

Jest to jednak tylko część tematyki, którą od lat zajmuje się prof. Sładkowski. Okazuje się bowiem, że teoria gier może być wzbogacona dzięki analizie zaskakujących zjawisk mechaniki kwantowej.

Nieintuicyjność i prawdopodobieństwo

Jednym z najsłynniejszych eksperymentów myślowych w mechanice kwantowej była „historia” pewnego hipotetycznego kota, znanego bardziej jako kot Schrödingera, od nazwiska austriackiego fizyka. Tym razem spróbujmy sobie wyobrazić zamknięte w specjalnym pudełku (żywe) zwierzę oraz radioaktywny atom. Jeżeli atom w określonym czasie się rozpadnie, zabije kota. Jeśli atom się nie rozpadnie, kot przetrwa. Zasady mechaniki kwantowej mówią, że znajdujący się pod koniec eksperymentu atom jest w stanie superpozycji: rozpadnięty i nierozpadnięty zarazem. Tym samym w pudełku mamy żywego kota martwego. Eksperyment myślowy jest więc mocno nieintuicyjny, uchyla jednak bramy mikroświata, w którym rządzi mechanika kwantowa.

Jak wyjaśnia prof. Sładkowski, pierwsze prace polegały na wykorzystaniu zjawisk opisywanych właśnie przez mechanikę kwantową do szeroko rozumianego problemu gier. Był to opis sytuacji rywalizacji w bardzo szerokim pojęciu. – Okazało się wówczas, że formalizm mechaniki kwantowej może być użyty bez kontekstu fizycznego, a więc na poziomie abstrakcji – wyjaśnia fizyk. Takie zastosowanie zjawisk występujących w mikroświecie chociażby do opisu zachowań ludzkich przyniosło wiele interesujących koncepcji. Zatrzymajmy się przy teorii gier. Zdarza się, że problem samego wyniku nie zawsze jest łatwy do określenia, może w ogóle nie istnieć. Dzięki wykorzystaniu formalizmu mechaniki kwantowej, sytuacja może ulec zmianie, rozwiązanie staje się możliwe. Aby przybliżyć opisaną sytuację, fizyk przywołuje pojęcie tak zwanej równowagi Nasha, która jest pewnym profilem strategii agentów. Oto jej zasada: żaden z graczy nie może skorzystać na samodzielnej zmianie strategii. Wprowadzenie formalizmu dopuszcza zastosowanie strategii mieszanej: mając to dyspozycje dwa ruchy, rzucam, na przykład, monetą, losowo wybierając ruch. Okazuje się, że jeśli się dopuści owe strategie mieszane, to wtedy w sensie Nasha rozwiązanie rzeczywiście istnieje.

Niezwykle ciekawy jest również problem subiektywności gracza. W teorii gier przyjmuje się, że agenci są racjonalni. Oznacza to, że zawsze dążą do maksymalnego zysku. Należy jednak pamiętać, że zysk ów może być rozumiany w różny sposób. Racjonalność określana jest z punktu widzenia zewnętrznego arbitra. – Powiedzmy, że chcę, by ktoś poniósł stratę (nawet kosztem mojej straty), bo go nie lubię. I tyle. Zyskuję coś innego: dopiekłem drugiemu i na tym mi zależało. To jest właśnie element subiektywizmu. Formalizm mechaniki kwantowej pozwala go uwzględnić w niektórych sytuacjach – mówi kierownik projektu.

– Z punktu widzenia teorii gier, szachy są grą trywialną – mówi prof. Jan Sładkowski

Zastosowanie mariażu teorii gier i zjawisk mechaniki kwantowej na poziomie abstrakcji może być wykorzystywane między innymi do rozważania problemów o charakterze filozoficznym. Fizyk powołuje się na tzw. problem wolnej woli (paradoks Newcomba). Na horyzoncie pojawia się więc kolejna hipotetyczna sytuacja. Mamy tym razem dwóch agentów: Obcego, reprezentującego odległą cywilizację, i człowieka. Są też dwa pudełka: pierwsze, przezroczyste, w którym jest 1000 zł i drugie, nieprzezroczyste z nieznaną dla człowieka zawartością. Obcy przewiduje strategię człowieka, który może wykonać tylko dwa ruchy. Jeśli wybierze tylko pudełko drugie, w środku będzie 1 000 000 zł. Lecz jeśli zdecyduje się wziąć oba pudełka, drugie będzie puste. Pytanie brzmi: jaki ruch powinien wykonać człowiek, gdy Obcy jest jasnowidzem i może przewidzieć decyzję człowieka? W tym miejscu pojawia się paradoks.

Jeżeli bowiem Obcy tylko w przybliżeniu jest pewny swoich przewidywań, człowiek nie będzie ryzykował, że dostanie jedynie tysiąc zł. Zgodnie z takim rozumowaniem, powinien zawsze wybierać pudełko nieprzezroczyste. Jednakże w momencie, kiedy przystępuje do wyboru, zawartość pudełek jest już ustalona. Drugie pudełko może być albo puste, albo pełne. Niezależnie od tego, czy pudełko drugie jest puste czy pełne, wybierając oba, człowiek zwiększa swoją szansę wygranej, bo może zabrać zawartość obu. Taka logika sprawia, że człowiek powinien zawsze wybierać oba pudełka. Ot, i paradoks.

Decyzja została jednak podjęta wcześniej i pudełko drugie ma określoną zawartość. Rozwiązanie problemu sprowadzało się do tego, że albo człowiek nie ma wolnej woli i zawsze postępuje zgodnie ze swoim przeznaczeniem, albo nie można mówić o pewnym przewidywaniu przyszłości. Zastosowanie formalizmu mechaniki kwantowej pozwoliło usunąć paradoks z klasycznego dylematu. Dokładniej, możliwe jest takie sformułowanie zagadnienia w języku kwantowej teorii gier, że człowiek zachowuje wolną wolę, natomiast Obcy, wykorzystując subtelności świata kwantowego, może skutecznie uniemożliwić odniesienie korzyści ze zmiany decyzji.

Zastosowanie

Jedną z ciekawszych możliwości zastosowania gier kwantowych jest również tzw. kryptografia kwantowa, która może być wykorzystana na przykład do przesyłania tajnych informacji lub ukrywania faktu przesyłania informacji (steganografia). Załóżmy więc, że chcemy przekazać odbiorcy pewną niezwykle ważną wiadomość. Kanał przesyłu narażony bywa jednak na podsłuch. Dane zaszyfrowane mogą być przy pomocy tzw. klucza, który jest losowy, użyty tylko raz i znany jedynie nadawcy i odbiorcy. W tym miejscu pojawia się możliwość wykorzystania fizyki kwantowej, dzięki której możemy taki klucz wygenerować i bezpiecznie przesłać. Jeśli transmisja przesyłu zostanie zakłócona, a dzieje się to zawsze, gdy ktoś próbuje „podsłuchiwać”, wówczas natychmiast każde takie działanie jest odnotowywane w systemie i zarówno nadawca, jak i odbiorca, orientują się o działaniu trzeciego. Prawa mechaniki kwantowej gwarantują, że każda ingerencja pozostawi ślad, dzięki czemu wzrasta bezpieczeństwo przesyłania danych. Jak zaznacza naukowiec, takie próby wykorzystania kryptografii kwantowej miały miejsce w Austrii, gdzie działa silna grupa eksperymentatorska.

– Powyższe rozwiązanie było wykorzystywane w systemie bankowym. Jest to jeden z wielu przykładów wykorzystania informacji z mikroświata do naszej rzeczywistości, użycia w praktyce – dodaje. Możliwości jest jednak znacznie więcej, dlatego naukowcy pod kierownictwem prof. Sładkowskiego będą badać kolejne obszary teoretycznego i praktycznego wykorzystania gier kwantowych.