Rok 1968 upamiętnia powstanie śląskiej wszechnicy, jest to również data szczególnie ważna dla wielu matematyków, ponieważ właśnie wtedy ukazała się drukiem Functional equations in a single variable, czyli ważna monografia autorstwa profesora Marka Kuczmy. Stworzyła ona podwaliny systematycznej teorii równań funkcyjnych o jednej zmiennej i odegrała dla tej dziedziny fundamentalną rolę. Stanowiła ważką i trwałą podstawę katowickiej szkoły równań funkcyjnych. Szkoła ta, często określana mianem fenomenu, jest niekwestionowaną chlubą Uniwersytetu Śląskiego, a wysoki prestiż wywodzących się z niej matematyków stawia ośrodek katowicki wśród najbardziej renomowanych w świecie w tej dyscyplinie.

Prof. zw. dr hab. Maciej Sablik i prof. zw. dr hab. Roman Ger

Historia badań równań funkcyjnych na Śląsku jest kilka lat starsza od historii Alma Mater. Instytut Matematyki Uniwersytetu Śląskiego powstał bowiem z połączenia Sekcji Matematyki byłej Wyższej Szkoły Pedagogicznej w Katowicach i Filii Uniwersytetu Jagiellońskiego w Katowicach. Warto jednak pamiętać, że bazą Filii UJ, która rozpoczęła działalność w 1966 roku, był istniejący już od trzech lat Katowicki Oddział Sekcji Matematyki UJ zorganizowany przez Marka Kuczmę.

– Za faktyczną datę narodzin teorii równań funkcyjnych w Polsce można uznać rok akademicki 1964/1965, ponieważ właśnie wtedy Marek Kuczma uruchomił specjalistyczne seminarium naukowe – mówi były dyrektor Instytutu Matematyki i były wieloletni kierownik Zakładu Równań Funkcyjnych prof. zw. dr hab. Roman Ger, uczeń profesora Marka Kuczmy (pierwszy doktorat z równań funkcyjnych na Uniwersytecie Śląskim w 1971 roku i pierwsza habilitacja na Wydziale Matematyki, Fizyki i Chemii w 1976 roku).

Dzieło zapoczątkowane przez prof. zw. dr. hab. Marka Kuczmę kontynuują jego liczni wychowankowie. Seminarium istnieje do chwili obecnej, od ponad 50 lat spotkania odbywają się niezmiennie we wtorki o godz. 16.15. W 2002 roku z okazji uroczystego tysięcznego posiedzenia ukazała się okolicznościowa publikacja pt. One Thousand Seminars on Functional Equations. Pod koniec maja 2018 roku miało miejsce 1426. posiedzenie seminarium.

W życiu wielu studiujących w Katowicach młodych matematyków seminarium odegrało ogromną rolę. Zaproszenie do udziału w nim (seminaria w owych czasach nie były otwarte dla wszystkich) wystosowane przez jego założyciela, profesora Kuczmę, było nie tylko nobilitacją, ale miało także decydujący wpływ na wybór dalszej drogi naukowej. Do grona wychowanków profesora należy także obecny dyrektor Instytutu Matematyki i kierownik Zakładu Równań Funkcyjnych prof. zw. dr hab. Maciej Sablik, ostatni z trzynastu doktorów wypromowanych przez ojca polskiej szkoły równań funkcyjnych.

– Kiedy tuż po habilitacji na Uniwersytecie Jagiellońskim w 1963 roku Marek Kuczma przybył do Katowic i stanął na czele nowo utworzonego w Katowicach Studium Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, jego celem stało się rozwijanie teorii równań funkcyjnych na Śląsku – wspomina profesor Ger. – Od początku miał przy tym na uwadze współpracę z przodującymi ośrodkami na świecie, co nie było zadaniem łatwym, zważywszy na specyfikę lat 60. ubiegłego wieku i uwarunkowania polityczne.

Zasługujący na uznanie upór profesora Kuczmy zaowocował jednak licznymi kontaktami naukowymi. Jednym z najważniejszych była współpraca z węgierskim matematykiem Jánosem Aczélem, światowym liderem w tej dziedzinie, w międzynarodowej społeczności specjalistów zwanym „papieżem równań funkcyjnych”. W 1996 roku János Aczél został uhonorowany tytułem doktora honoris causa Uniwersytetu Śląskiego.

Efektem tej współpracy jest m.in. stała wymiana studentów i naukowców, a przede wszystkim udział w prestiżowych konferencjach międzynarodowych, np. w zainicjowanej w 1962 roku przez Jánosa Aczéla, najważniejszej dla tej dyscypliny matematycznej imprezie naukowej International Symposium on Functional Equations (ISFE). Dowodem uznania dla ośrodka katowickiego było powierzenie Instytutowi Matematyki Uniwersytetu Śląskiego organizacji jednego z „aczélowskich” sympozjów (w 1996 roku) oraz powierzenie ich kierownictwa naukowego w latach 2004–2016 profesorowi R. Gerowi, a od roku 2016 – profesorowi M. Sablikowi.

Ośrodek katowicki odwiedzali i odwiedzają nadal wybitni specjaliści z całego świata, a Instytut Matematyki UŚ jest także inicjatorem i organizatorem wielu spotkań, sympozjów, konferencji i seminariów.

Rośnie nowa kadra młodych matematyków, powiększa się także grono zainteresowanych równaniami funkcyjnymi. Od dziesięcioleci śląscy naukowcy współpracują z ważnymi centrami naukowymi na świecie, m.in. w Austrii (Graz, Innsbruck), Czechach (Opawa, Brno), Danii (Aarhus), Francji (Nantes, Paryż), Hiszpanii (Barcelona), Izraelu (Haifa, Beer-Sheva), Kanadzie (Waterloo), Niemczech (Hamburg, Karlsruhe), Rosji (Wołogda), Słowenii (Maribor), Stanach Zjednoczonych (Chicago, Louisville), Szwajcarii (Berno), na Węgrzech (Debreczyn, Budapeszt, Miszkolc, Szeged) i we Włoszech (Mediolan, Turyn). Lista kontaktów międzynarodowych rozszerzyła się o badaczy z Iranu, Pakistanu, Maroka, Korei Płd., Grecji, Chin i Wenezueli. W Polsce do ośrodków katowickiego i krakowskiego dołączyły zespoły naukowców z Rzeszowa, Zielonej Góry i Bielska-Białej. Wszyscy jednak przyznają, co podkreśla profesor M. Sablik, że swoimi rodowodami sięgają profesora Marka Kuczmy, a tym samym szkoły śląskiej.

– Świat, w który wkraczają równania funkcyjne, jest bardzo szeroki, począwszy od algebry, geometrii, rachunku prawdopodobieństwa po fizykę, ekonomię, medycynę, a nawet psychologię i nauki społeczne – zapewnia profesor R. Ger. – Zajmujemy się równaniami funkcyjnymi, które pochodzą z zewnątrz: z fizyki, probabilistyki, z praktyki niezwiązanej z innymi ścisłymi dyscyplinami naukowymi – dodaje matematyk.

Podstawową tematyką badań w Zakładzie Równań Funkcyjnych, projektem, którym kieruje prof. Maciej Sablik, jest teoria równań i nierówności funkcyjnych o wielu zmiennych. W obszarze zainteresowań matematyków pozostają także analiza wypukła, teoria funkcjonałów addytywnych i wypukłych, funkcje wielomianowe i wypukłe wyższych rzędów, uogólnienia wypukłości odwzorowań, twierdzenia o oddzielaniu, nierówności typu Hermite’a- Hadamarda, teoria stabilności, teoria średnich, warunkowe równania funkcyjne, równania pochodzące od reguł kwadraturowych, charakteryzacja odwzorowań i przestrzeni poprzez równania funkcyjne, twierdzenia typu Steinhausa, średnie niezmiennicze i ich zastosowanie w teorii równań i nierówności funkcyjnych, funkcje sferyczne, selekcje odwzorowań wielowartościowych i ich rozszerzanie, a także aplikacje teorii równań funkcyjnych w analizie harmonicznej i funkcjonalnej, matematyce finansowej i aktuarialnej.

Spektakularnym przykładem skuteczności metod równań funkcyjnych może być wynik, który uniemożliwił działanie oscylatora w systemie bankowym i tym samym zapobiegł nienależnym zyskom. Autor tego wyniku, profesor Jens Schwaiger z Grazu, otrzymał za swoje odkrycie niebagatelną nagrodę finansową.

Nawet w psychologii, która zdaje się daleka od matematyki, równania funkcyjne stają się istotnym narzędziem metodologicznym, począwszy od metod statystycznych i teorii pomiaru, po modelowanie matematyczne różnych zagadnień społecznych i psychologicznych. Równania funkcyjne znajdują ostatnio nietrywialne zastosowania także w teorii zbiorów i logik rozmytych.

Choć dla laików cytowany zakres badawczy może brzmieć zawile, absolwenci szkół średnich nie muszą się frustrować: próg wtajemniczenia w równania funkcyjne przekraczają dopiero zafascynowani tą dziedziną studenci i doktoranci.

– Podstawą teorii są dwa filary równań funkcyjnych – wyjaśnia dyrektor Instytutu Matematyki. – Pierwsze, o których pisał w monografii profesor Marek Kuczma, czyli równania funkcyjne o jednej zmiennej, oraz równania funkcyjne w sensie aczélowskim, czyli równania o wielu zmiennych. Wciąż powstają nowe dziedziny. Nie ma więc obaw – zapewnia naukowiec – nie tylko nasze, ale i następne pokolenia z pewnością będą miały nad czym pracować.

Liczne prace katowickich specjalistów teorii równań i nierówności funkcyjnych doczekały się znaczącej liczby cytowań, np. profesor Roman Ger odnotował ich już ponad 1500, a nie jest tu wyjątkiem.

– Moja druga w życiu praca pt. On the boundedness and continuity of convex functions and additive functions, napisana we współautorstwie z profesorem Kuczmą w 1970 roku, przeżywa swoisty renesans, wciąż pojawiają się nowe cytowania. Nie ukrywam, że jest to dla mnie pewne zaskoczenie, a z drugiej strony duża satysfakcja – stwierdza badacz.

– Cytowania w matematyce różnią się od innych dziedzin: nie należy do rzadkości sięganie do publikacji nawet sprzed kilkudziesięciu lat. W fizyce czy chemii byłyby one zapewne dawno już zapomniane. Wyniki badań matematyków nie starzeją się, ale inspirują – wyjaśnia kierownik Zakładu Równań Funkcyjnych.

Na pytanie, którą ze swoich publikacji uważają za najważniejszą, obaj matematycy zgodnie, choć z przymrużeniem oka, odpowiadają: Dzieło życia dopiero przed nami.