Wyobraźmy sobie świat, w którym dzieci nie uczą się tabliczki mnożenia, rolnicy nie liczą swoich krów, a artyści malują równoległe tory kolejowe idące wprost do nieba. Zresztą nie malują torów, bo nie „wymyślono” kolei. Nikt nie wie, co znaczy mieć „zero” na koncie i nikt nie gra w Lotto, bo gry losowe są nieopłacalne. Tak właśnie wyglądałby świat bez matematyki. Na szczęście każda z cywilizacji ma swój znaczący wkład w rozwój królowej nauk. O tym, dlaczego matematyka jest ekstremalnie fajna, opowiada dr Łukasz Dawidowski, adiunkt z Zakładu Równań Różniczkowych.

Dr Łukasz Dawidowski, adiunkt z Zakładu Równań Różniczkowych

Rozpoczynając naszą rozmowę, wyobrażam sobie, że znowu jestem na lekcji matematyki w szkole... Dostaję zadanie do rozwiązania, mam jasno określony cel, ale muszę znaleźć sposób, jak go osiągnąć. Już w trakcie szukania odpowiedzi wiem, czy zmierzam w dobrą stronę, czy błądzę. Obliczony poprawnie wynik daje ogromną satysfakcję. Co jest jednak ważniejsze z perspektywy matematyka: rozwiązanie problemu czy poszukiwanie właściwej drogi?

– Matematyka rzeczywiście lubi konkretne rozwiązania, ale częściej to droga prowadząca do celu jest bardziej ekscytująca. Istnieje kilka problemów matematycznych, których nie da się rozwiązać. Proszę mnie dobrze zrozumieć. Nie chodzi o to, że nie umiemy znaleźć odpowiedzi, tylko potrafimy udowodnić, że ona nie istnieje. Co więcej, matematyka jest ekscytująca, bo raz poprawnie skonstruowany dowód będzie prawdziwy i za sto lat, i sto wieków później. Wszystko, co dzieje się w niej, dzieje się bowiem w głowach matematyków. Gdybyśmy mieli doskonałą pamięć, nie potrzebowalibyśmy nawet kartki i długopisu...

Czy mógłby Pan podać przykład czegoś, czego nie da się udowodnić?

– Jednym z podstawowych pojęć w matematyce jest punkt. W podstawówce uczymy się o nim i myślę, że ani Pani, ani nikt z czytelników nie ma problemu z wyobrażeniem sobie takiego obiektu. Matematycy zaczęli mu się przyglądać. Wszyscy wiedzą, że lubimy definicje, a te powinny być ścisłe. Przez wieki konstruowano kolejne sformułowania i zawsze pojawiał się ktoś, kto wykazywał ich ułomność. Dlatego matematycy wprowadzili tak zwane pojęcia pierwotne, takie właśnie, jak punkt, prosta czy zbiór, którymi można się bezpiecznie posługiwać bez konieczności definiowania. Zasada ta dotyczy również matematycznych zdań, czyli aksjomatów.

Co się stanie, gdy ktoś obali jeden z pewników? Przecież na nich buduje się wiele teorii. Dobrym przykładem był piąty postulat w geometrii Euklidesa, który udało się podważyć dopiero w XIX wieku...

– Dla matematyka to nie jest problem. Nowy aksjomat to nowa teoria. Oczywiście takie sytuacje zdarzają się bardzo rzadko. Rzeczywiście w XIX wieku aż dwóch matematyków niezależnie od siebie zbudowało dwie różne geometrie, w których wspomniany piąty postulat nie działa. Pozostałe cztery nadal jednak obowiązują. Mamy zatem geometrię euklidesową, której uczymy się w szkole i która ma bardzo dużo zastosowań, poznaliśmy także geometrie nieeuklidesowe o jeszcze większym zastosowaniu!

Jak można je sobie wyobrazić?

Wystarczy na nasz świat spojrzeć z perspektywy kosmosu. Ziemia jest (prawie) kulą. Zakładamy, zgodnie z rzeczywistością, że nie możemy przechodzić przez jej środek. Podróżując między Katowicami a Sydney, poruszamy się nie po linii prostej, lecz po łuku. Gdybyśmy zatem rysowali proste na powierzchni kuli ziemskiej, w geometrii nieeuklidesowej okazałyby się...

...okręgami.

– Zgadza się. Jeśli uprawiamy geometrię na kuli, prostą jest okrąg. Podobnie działa perspektywa. Wyobraźmy sobie tory kolejowe. Muszą być równoległe, inaczej pociąg by się wykoleił. Nasze oko widzi jednak, że są zbieżne. Patrzymy zatem nieeuklidesowo. Bardzo ciekawie wygląda porównanie średniowiecznych dzieł malarskich, pozbawionych perspektywy, z późniejszymi, w których ona została już zastosowana. To także jest przykład zderzenia geometrii euklidesowej z nieeuklidesową.

Dziś obraz namalowany bez perspektywy wydawałby się dziwny, a taka forma – zamierzoną przez artystę deformacją. Podobnie trudno chyba sobie wyobrazić świat, w którym nie ma tabliczki mnożenia czy układu współrzędnych kartezjańskich...

– Dla nas to wszystko jest oczywiste i elementarne. Świat bez tabliczki mnożenia istniał jednak dłużej niż z nią, a wspomniany układ prostokątny został wprowadzony przez Kartezjusza dopiero w XVII wieku. Podam jeszcze inny ciekawy przykład. Znamy liczby dodatnie i ujemne. Pośrodku stoi liczba zero i pewnie nikt (poza filozofami oczywiście) nie zadaje sobie pytania, czym ona jest. Wydałem wszystkie pieniądze, mam zero na koncie. Nic nie zarobiłem, nadal mam zero. W cywilizacji europejskiej jej symbol pojawił się znacznie później niż w innych starożytnych kulturach, budził zresztą sporo kontrowersji. Dlaczego mamy nazywać nic czymś?

Są jeszcze tak zwane liczby urojone, kiedy wydaje mi się, że coś mam na koncie, a potem okazuje się, że tym czymś jest... zero.

W innym, niematematycznym sensie, owszem. Liczby urojone nie mają jednak tak szerokiego zastosowania w życiu codziennym, jak liczby dodatnie, ujemne czy wspomniane zero. One pojawiły się w nauce na potrzeby matematyki, dopiero potem zostały wykorzystywane np. przez fizyków do opisu pewnych zjawisk zachodzących w przewodach elektrycznych. W historii matematyki albo przykładano większą wagę do praktycznych zastosowań, albo rozbudowywano abstrakcyjne teorie. Dziś odnoszę wrażenie, że ważniejsza jest praktyka.

Które zagadnienia są obecnie najpopularniejsze w światowej matematyce?

Dziś jednym z najgorętszych tematów jest badanie rozwiązań równań Naviera- -Stokesa opisujących ruch ciała w płynie. Szukamy matematycznych rozwiązań, dzięki którym ruch samochodów, statków czy samolotów będzie bardziej ergonomiczny. Nikt jednak nie jest w stanie przewidzieć, kiedy uda nam się je znaleźć. Jednym ze słynniejszych przykładów matematycznej niewiadomej było wielkie twierdzenie Fermata zapisane przez niego na marginesie jednej z książek w XVII wieku. Pierre de Fermat oprócz treści twierdzenia zanotował również uwagę, z której wynikało, że zna rozwiązanie, jednak... nie zmieściło się ono na marginesie. Kolejne pokolenia matematyków mierzyły się więc z tym wyzwaniem. Dopiero 300 lat później, w latach 90. XX wieku, Andrew Wiles opublikował dowód twierdzenia.

Oczyma naznaczonej popkulturą wyobraźni widzę Wilesa, który stoi w sali wykładowej i zapisuje drobnymi symbolami ogromną tablicę, prezentując swój dowód. Czy w matematyce istnieje zasada wiążąca wygląd i długość rozwiązania z jego efektywnością? Innymi słowy, czy „estetyka” rozwiązania jest ważna?

– Chcemy, aby matematyka była elegancka. Dążymy do tego, by uzyskać jak najkrótszy zapis, ale nie każdy opis daje się łatwo ujarzmić. Zawsze przyjmie się to, co jest prostsze, krótsze i bardziej eleganckie. Dobrym przykładem jest słynna stała matematyczna mająca wiele określeń. Choć nazywana bywa stałą Archimedesa czy ludolfiną, szerokiemu odbiorcy kojarzy się jednak przede wszystkim z krótkim hasłem: liczba π.

Liczba π być może brzmi elegancko, ale jej wartość nie jest ani krótka, ani prosta do zapamiętania. Nie mówiąc już o tym, że jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone...

– Na szczęście matematycy świetnie poradzili sobie zarówno z samą liczbą, jak i z nieskończonością (śmiech). Rozwinięcie dziesiętne liczby π jest ważne w prowadzonych badaniach, ale tutaj możemy korzystać z mocy obliczeniowej komputerów. W ramach corocznego Święta Liczby Pi organizowaliśmy również konkurs dla uczniów. Wygrywał ten, kto liczbę π rozwinął bardziej.

Jaki padł rekord?

- Ja pamiętam 3,1415... Zwycięzca podał ponad 200 prawidłowych kolejnych cyfr. To było ekstremalnie fajne. Tworzone są też specjalne Pi-ematy, które pomagają zapamiętać jak najwięcej cyfr. Taki wierszyk napisał m.in. matematyk Kazimierz Cwojdziński w 1930 roku. Zasada jest prosta: liczba liter w słowach odpowiada kolejnej cyfrze rozwinięcia dziesiętnego liczby π.

A jak matematycy radzą sobie z nieskończonością?

– Nieskończoność to pewien byt abstrakcyjny.

... i to wszystko?

– To wystarczy, ponieważ matematyka jest nauką abstrakcyjną. Problem zaczyna się, gdy próbujemy zastosować ten byt w praktyce. Czym jest nieskończenie mały czas albo nieskończenie wielki kosmos? Czy istnieje nieskończenie mała porcja energii albo największa liczba? Czy internet jest nieskończony? A punkt? Gdy go rysujemy, widzimy tak naprawdę koło, a przecież jest on czymś nieskończenie małym...

Czym jest coś nieskończenie małego?

– Tego właśnie nie wiemy, bo udowodniliśmy, że nie da się skonstruować ścisłej definicji czegoś nieskończenie małego. Dlatego punkt jest pojęciem pierwotnym.

A my, wracając do niego, zatoczyliśmy koło... Dziękuję za rozmowę.

Pi-emat
Kazimierza
Cwojdzińskiego

Kuć i orać
w dzień zawzięcie
bo plonów niema* bez trudu
Złocisty szczęścia okręcie
Kołyszesz...
Kuć.
My nie czekajmy cudu.
Robota
to potęga ludu.

* Do 1936 roku forma nie ma w znaczeniu
‘nie jest’ była zapisywana łącznie. Wiersz Cwojdzińskiego
został opublikowany w 1930 roku.