Matematyka dziwnych obiektów

Andrzej Lasota

Magnificencjo, Wysoki Senacie, Szanowni Państwo! Jestem bardzo szczęśliwy i bardzo dumny z otrzymanego tytułu. Chciałbym Państwu opowiedzieć coś o sobie, o tym, czym się zajmuję. Wymagałoby to oczywiście tablicy i kilometrowych wzorów. Zamiast tego opowiem pewną historię. Nawet niezbyt długą. Obejmuje jakieś dwa i pół tysiąca lat. Wszyscy wiemy, że matematyka, a dokładniej geometria, zajmuje się pięknymi, regularnymi obiektami, jak linia prosta, okrąg, elipsa, trójkąt, wielokąt itp. Tak było dawniej, tak w pewnym stopniu jest i dziś. Rolę tych klasycznych zbiorów przejęły rozmaitości różniczkowe, czyli mówiąc możliwie najprościej, gładkie powierzchnie. Wielu ludzi zdziwi się jednak zapewne, gdy dowie się, że przedmiotem badań matematycznych mogą być również linie takie, jak brzeg chmury lub kształt wybrzeży Anglii. Co więcej, matematyka interesują na płaszczyźnie zbiory, których w ogóle nie potrafimy narysować.

Nasuwa się pytanie, jak doszło do takich zmian, jaki był ich początek. Tak więc chcąc zrozumieć dzisiejszą matematykę, musimy sięgnąć do jej historii. I tu można zauważyć rzecz dziwną. Z historią matematyki i ogólniej - historią nauki - przeplata się w zaskakujący sposób historia sztuki. Najwyraźniej pogląd tan sformułował Naum Gabo, rzeźbiarz i teoretyk sztuki, jeden z najaktywniejszych przedstawicieli konstruktywizmu. Uważał on, że łączność między wiedzą a sztuką nigdy nie przestała istnieć w ciągu dziejów kultury ludzkiej. Ilustrował to twierdzenie paradoksalnymi przykładami, starając się między innymi pokazać związki, jakie zachodzą pomiędzy Madonnami Rafaela i teorią heliocentryczną Kopernika.

Doktorat Honoris Causa - Andrzej Lasota. Foto: W. Ziółkowski

Nie wszystkie argumenty Gabo są przekonujące, ale zgadzam się, że podobieństwa pomiędzy historią sztuki i historią matematyki nie są zwykłym zbiegiem okoliczności. Mają swoje głębokie przyczyny. Zacznijmy od tego, że potężne i dobrze zorganizowane państwo stać jednocześnie na popieranie rozwoju sztuki i rozwoju nauki, w tym jednej z najstarszych - matematyki. Klasycznym przykładem jest tu Egipt. Kapłani egipscy precyzyjnie obliczali tory gwiazd i planet na niebie w sposób, który można by nazwać analogowym, a świątynie egipskie zapierają dech nie tylko swoją wielkością, ale i niezwykłym wyczuciem kształtu.

Najmocniej jednak zderzyły się matematyka i sztuka w Grecji, której małe państewka nie rozporządzały ani bogactwem, ani potęgą faraonów. Na czym polegał grecki fenomen w sztuce? Otóż Grecy nie tylko tworzyli arcydzieła, ale ustalili kanony artystyczne, i to w wielu dziedzinach, w rzeźbie, architekturze, teatrze. Dla mnie takim symbolem greckiej rzeźby jest grupa Laokoona - ojciec i synowie duszeni przez węże. Centralna postać Laokoona wyraża ból, gniew i przerażenie, jest pełna ekspresji, a jednocześnie jest absolutnie piękna, idealna pod względem kunsztu rzeźbiarskiego. Pliniusz uważał grupę Laokoona za najwyższe osiągnięcie sztuki w dziedzinie plastycznej. Takiej sztuki przed Grekami nie było.

Doktorat Honoris Causa - Andrzej Lasota. Foto: W. Ziółkowski

Arcydzieła teatru greckiego grane są do dziś. Ich kanon można zmieniać i rozwijać, ale w każdej wielkiej tragedii tkwią greckie korzenie, tak jak na każdym niemal budynku uniwersytetu amerykańskiego widać ślady greckiej architektury.

Podobnie w matematyce. Grecy nic tylko znali wiele faktów matematycznych, nie tylko wzbogacili matematykę wieloma odkryciami matematycznymi, ale przede wszystkim zrozumieli, na czym polega struktura teorii matematycznych, struktura matematyki. Pozwolę sobie tu wyręczyć się słowami Bourbakiego: Istota oryginalności Greków polega właśnie na świadomym dążeniu do uporządkowania dowodów matematycznych w pewną sekwencję, taką aby przejście od jednego ogniwa do następnego nie pozostawiło miejsca na żadne wątpliwości i zmuszało do powszechnej zgody. Grecy nic tylko to rozumieli, ale umieli tym wymaganiom sprostać. Przeszło dwadzieścia trzy stulecia przed nami powstało monumentalne dzieło Elementy Euklidesa. Pokazano w nim, jak ze stosunkowo prostych aksjomatów wydedukować wszystkie znane twierdzenia geometrii. Ustalony został obowiązujący do dziś kanon budowy teorii matematycznych. Takiej matematyki przed Grekami nic było.

Doktorat Honoris Causa - Andrzej Lasota. Foto: W. Ziółkowski

W czym tkwiła przyczyna tego "wielkiego wybuchu" w sztuce i w matematyce? Najprościej można odpowiedzieć tak: zarówno sztukę, jak i matematykę tworzą ludzie pełni pasji i inwencji, którym "stare" nic wystarcza, a tacy właśnie byli starożytni Grecy. Oczywiście, pasja oraz inwencja są cechami wszystkich twórców, a w szczególności ludzi nauki, ale matematyk w porównaniu z badaczami innych dziedzin mniej skrępowany jest zewnętrznym światem i to zbliża go do artysty. Podobnie jak artysta, sam stwarza swój przedmiot zainteresowania. Mówiąc słowami profesora Tomasza Łuczaka, sztuka jak i matematyka traktują o rzeczywistości istniejącej niejako obok otaczającego nas świata. Inna sprawa, że teorie matematyczne wcześniej czy później okazują się przydatne do opisu naszej rzeczywistości i znakomicie z nią koincydują. Dlaczego tak jest, nie wiemy. Ale to osobne zagadnienie.

Jak powiedziałem, nie w pełni podzielam poglądy Gabo i nie twierdzę, że historia sztuki i historia matematyki są paralelne. Losy światów tak skomplikowanych i tak różnych nie mogą być identyczne. A jednak po dwudziestu dwóch stuleciach od powstania Elementów, to jest na początku dwudziestego wieku, matematycy zaobserwowali fakty, które wykazują niemal namacalne podobieństwo do poszukiwań artystów.

Zacznijmy od przypomnienia, co przyniósł sztuce początek dwudziestego wieku. Najogólniej mówiąc, przyniósł podstawowe pytanie o istotę sztuki. Czym jest i co powinna wyrażać? Oczywiście, jest to stary problem, ale nigdy przedtem nie był atakowany z taką zaciekłością. Nigdy nie sformułowano nań tylu odpowiedzi, tylu zwalczających się programów artystycznych. Kubizm, futuryzm, ekspresjonizm, dadaizm, konstruktywizm, pop-art to tylko kilka najlepiej znanych nazw z co najmniej kilkunastu, o których mówią podręczniki historii sztuki. Czy dały one jednoznaczną odpowiedź na to, jaka powinna być sztuka? Oczywiście nie, ale pokazały ogromne i różnorodne możliwości. Jedne przyniosły dzieła wielkie, inne niemal poszły w zapomnienie.

Doktorat Honoris Causa - Andrzej Lasota. Foto: W. Ziółkowski

Jaki to ma związek z matematyką? Nie chodzi przecież o to, że postacie na obrazach kubistów budowane były ze stosunkowo prostych figur geometrycznych. Istota polega na tym, że na początku dwudziestego wieku matematycy, podobnie jak artyści, zaczęli stawiać pytania dotyczące podstawowych pojęć, które przedtem nie budziły wątpliwości. Zapytano na przykład, co to jest linia i co to jest wymiar zbioru. Na pewno liniami są prosta, elipsa, parabola, hiperbola. Wykres każdej dostatecznie regularnej funkcji też nazwalibyśmy linią. Ale każdy, kto oglądał film katastroficzny związany z trzęsieniem ziemi, widział, że przed wstrząsem pisaki sejsmografów rysowały coraz bardziej zagęszczony wykres, który niemal pokrywał część płaszczyzny. Czy to też jest linia? Z wymiarem także tylko na pozór sprawa jest prosta. Oczywiście, wszystkie wymienione przed chwilą klasyczne linie powinny mieć wymiar 1, ale jaki wymiar przypisać wykresom funkcji, które modelują ruch oszalałego sejsmografu?

Trudności te w znacznym stopniu udało się pokonać. Złośliwy powiedziałby nawet, że za dobrze. Podano bowiem kilka definicji linii i wiele definicji wymiaru. Co więcej, nie wszystkie są równoważne i nie wszystkie stały się punktem wyjścia dalszych badali. Ale łącznie pokazały bogactwo możliwości, jakie tkwią w tych podstawowych pojęciach matematycznych. Okazało się, że istnieją linie o zupełnie zaskakujących własnościach. Można na przykład zbudować linię, która rozgałęzia się w każdym punkcie. Istnieje też linia tak bogata, tak misternie spleciona, że zawiera w sobie obraz (homeomorficzny) każdej innej linii. Mistrzem w budowie takich zbiorów był Wacław Sierpiński.

To dopiero początek historii. Zbiory (linie) zbudowane przez Sierpińskiego mają jeszcze inne dziwne własności. Najdziwniejszą jest zapewne ta, że ich wymiar w sensie Hausdorffa nie jest liczbą całkowitą. Nazwano je wiec fraktalami od łacińskiego słowa fractus – „złamany”, „niecałkowity”. Teoria fraktali jest dzisiaj jednym z najszybciej rozwijających się działów matematyki. Złożyły się na to przynajmniej dwa powody natury teoretycznej. Po pierwsze zbiory graniczne, atraktory wielu ważnych układów dynamicznych, są fraktalami, a po drugie na fraktalach, podobnie jak na przestrzeniach liniowych, można rozwijać analizę matematyczną. Jest jednak jeszcze trzeci powód, być może najważniejszy. Fraktale można z łatwością konstruować przy użyciu komputerów, a z kolei za pomocą fraktali można aproksymować każdy z góry zadany rysunek. Okładkę pierwszego wydania znanej monografii Michaela Barnsleya Fractals everywhere zdobi rysunek małej peruwiańskiej dziewczynki o pięknych, zamyślonych oczach, ubranej w ozdobny indiański kapelusz. To też jest fraktal, a właściwie suma pewnej ilości fraktali. Stały się więc fraktale nośnikiem informacji, a mówiąc bardziej fachowo metodą kompresji zapisu obrazów. Splotły się nierozerwalnie z grafiką komputerową. Dzięki fraktalom matematyka i sztuka zbliżyły się, jak nigdy dotąd.

Dla każdego laika synonimem sztuki nowoczesnej jest Pablo Picasso. Urodził się w 1881 roku i przeżył ponad 90 lat. Wacław Sierpiński urodził się rok później i żył niemal równie długo. W 1914 roku Picasso maluje znany, złożony z geometrycznych bloków obraz Figura. W 1915 Sierpiński konstruuje najważniejszy z wszystkich fraktali - sławny trójkąt Sierpińskiego. Ta zbieżność dat zakrawa na żart historii, ale nie jest już żartem, że dzięki technice fraktalnej matematyka może służyć sztuce w nieco inny, bardziej wyrafinowany sposób niż przy obliczaniu proporcji egipskich i greckich budowli.

Chciałbym mój wykład podsumować następująco: i sztuka nowoczesna, i nowoczesna matematyka, a w szczególności teoria fraktali pokazały, że zarówno możliwości twórcze, jak i pole badawcze człowieka są bez porównania szersze, niż wydawało się sto lat temu. Mam też nadzieję, że za sto lat uczniowie naszych uczniów będą mogli powiedzieć to samo.

Wykład prof. Andrzeja Lasoty, wygłoszony podczas ceremonii nadania mu tytułu Doktora Honoris Causa Uniwersytetu Śląskiego (10 listopada 2001 r.).

Autorzy: Andrzej Lasota, Foto: W. Ziółkowski
Ten artykuł pochodzi z wydania:
Spis treści wydania