„Inteligentne” lodówki i pralki, systemy zarządzające ruchem czy oświetleniem ulicznym, autofocus w cyfrowych aparatach fotograficznych – to przykłady zaledwie kilku nowoczesnych technologii dostępnych dzięki wykorzystaniu specjalnych elektronicznych systemów sterowania. Ich wyjątkowość wynika z zastosowania rozwiązań, dla których klasyczna logika okazała się niewystarczająca. Na szczęście na początku XX wieku polski uczony Jan Łukaszewicz stworzył bazę dla powstania teorii logiki rozmytej, za twórcę której uznaje się amerykańskiego automatyka azerskiego pochodzenia Lotfiego A. Zadeha.

Autorzy nagrodzonej pracy naukowej (od lewej): dr Piotr Helbin, dr hab. Michał Baczyński, prof. UŚ oraz doktorantka mgr Katarzyna Miś

Analizy zbiorów rozmytych są powadzone przez naukowców z całego świata od lat 60. XX wieku. Budzą także zainteresowanie matematyków związanych z Uniwersytetem Śląskim – dr. hab. Michała Baczyńskiego, prof. UŚ, dr. Piotra Helbina oraz mgr Katarzyny Miś.

Pewne zależności pomiędzy klasycznym rachunkiem zdań a logiką rozmytą stały się przedmiotem rozprawy doktorskiej mgr Katarzyny Miś. Praca przygotowywana jest pod okiem prof. Michała Baczyńskiego.

– Zainteresował mnie jeden z artykułów hiszpańskich logików. Dostrzegłam w nim możliwość rozwinięcia pewnych wyników, które stały się przedmiotem przygotowywanej przeze mnie pracy doktorskiej – mówi doktorantka.

Za twórcę logiki jako osobnej dyscypliny uznaje się Arystotelesa. W klasycznym rachunku zdań wiele reguł wnioskowania znamy od starożytności. Dzięki nim można badać między innymi zależności pomiędzy zdaniami logicznymi. Do wspomnianych reguł należą takie prawa, jak modus ponens, modus tollens, prawo redukcji do absurdu czy prawo przemienności koniunkcji. Przyjrzyjmy się jednej z nich. Jak wyjaśnia prof. Michał Baczyński, reguła modus ponens zwana też regułą odrywania oznacza, że jeśli prawdziwa jest implikacja i jej poprzednik, to za prawdziwy uznać należy także następnik takiej implikacji. Regułę modus ponens można zatem zapisać tak:

p→q
p
_____
∴ q

Oto konkretny przykład:

Jeśli jest poniedziałek, to idę do pracy.
Dziś jest poniedziałek.
Zatem idę do pracy.

W klasycznym rachunku zdań każda z takich formuł może przyjąć jedną z dwóch wartości logicznych: jest prawdziwa (1) lub fałszywa (0). Co więcej, sens zdania powinien być powiązany z wartością logiczną tego zdania, a wartość logiczna zdań złożonych zbudowanych przy pomocy klasycznych funktorów (czyli spójników, takich jak alternatywa czy koniunkcja) zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych.

Krótka próba ujęcia klasycznego rachunku zdań wydawać się może trudna do zrozumienia. Trzy wymienione powyżej warunki są jednak istotne, ponieważ okazuje się, że odstąpienie od dwóch ostatnich otworzyło drogę teoriom logik wielowartościowych. Jedną z nich jest logika rozmyta uogólniająca logikę klasyczną, dwuwartościową. Okazuje się, że pomiędzy wartością fałszu (0) i prawdy (1) rozciągać się może cała paleta wartości pośrednich. Najprostszym przykładem niech będzie rozkład temperatury. Podane wartości w pewnych zakresach mogą być interpretowane na przykład jako raczej gorące, raczej ciepłe lub raczej zimne czy raczej chłodne. Jeśli zastosujemy takie rozwiązanie na przykład w systemie wentylacyjnym, może on sterować siłą nadmuchu w zależności od pewnych zakresów temperatur w pomieszczeniu – im wyższa temperatura, tym silniejszy nadmuch. Dla porównania w urządzeniach wyposażonych w sterowniki binarne dostępne są tylko dwie opcje: włącz lub wyłącz wentylator.

O ile podstawy otwierające drogę logice rozmytej zostały wprowadzone na początku XX wieku, o tyle przed matematykami wciąż długa droga do zrozumienia wszystkich obowiązujących w niej zasad i zależności. – Znamy wiele reguł rządzących klasycznym rachunkiem zdań. Gdy w świecie naukowym pojawiły się teorie logik wielowartościowych, należało sobie zadać pytanie, czy znane nam reguły będą w jakiś sposób obowiązywać również w rachunku zdań, w którym przyjmuje się więcej niż dwie wartości logiczne – mówi prof. Michał Baczyński.

– Zajęłam się analizą wybranych zagadnień z zakresu analizy czterech praw: modus ponens, modus tollens, redukcji do absurdu oraz sylogizmu hipotetycznego w logice rozmytej – wyjaśnia mgr Katarzyna Miś. – Innymi słowy, klasyczne reguły przenosimy na przypadek z zakresu logiki rozmytej i sprawdzamy, jak zachowują się na odcinku ograniczonym wartościami 0 i 1 – dodaje dr Piotr Helbin, który również jest autorem obronionej już rozprawy doktorskiej z zakresu logiki rozmytej przygotowanej pod kierunkiem prof. Michała Baczyńskiego.

Kluczowe pytanie brzmi zatem, w jaki sposób można uogólnić spójniki znane z klasycznego rachunku zdań, czyli koniunkcję, alternatywę, implikację czy negację na zdania przyjmujące wartości z zakresu od 0 do 1. Dopiero na tak uogólnionych spójnikach można badać, czy zachodzą wspomniane już wcześniej klasyczne reguły. Jest to jedno z wielu pytań, na które szukają odpowiedzi naukowcy z Uniwersytetu Śląskiego.

Pewne rozwiązania zostały zaprezentowane w pracy „Some Remarks on the Generalized Scheme of Reduction to Absurdity and Generalized Hypothetical Syllogism in Fuzzy Logic” będącej częścią rozprawy doktorskiej mgr Katarzyny Miś i przygotowanej we współpracy z prof. Michałem Baczyńskim oraz dr. Piotrem Helbinem. Publikacja została doceniona podczas konferencji zorganizowanej we wrześniu 2019 roku w Pradze przez stowarzyszenie European Society for Fuzzy Logic and Technology (http://eusflat2019.cz). Jednym z punktów wydarzenia był konkurs na najlepsze prace naukowe z zakresu logiki rozmytej. Publikacja polskich matematyków otrzymała nagrodę EUSFLAT 2019 Best Student Paper Award of the European Society for Fuzzy Logic and Technology.